الرياضيات المتناهية الأمثلة

$(- 3, 8)$

خطوة 1

لإيجاد الدالة الأُسية، $f (x) = a^{x}$ ، والتي تتضمن النقطة، عيّن قيمة $f (x)$ في الدالة لتصبح قيمة $y$ في النقطة مساوية لـ $8$ ، وعيّن قيمة $x$ لتصبح قيمة $x$ في النقطة مساوية لـ $- 3$ .

$8 = a^{- 3}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $a$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $a^{- 3} = 8$ .

$a^{- 3} = 8$

خطوة 2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = 8$

خطوة 2.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$a^{3}, 1$

خطوة 2.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$a^{3}$

خطوة 2.4

اضرب كل حد في $\frac{1}{a^{3}} = 8$ في $a^{3}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{a^{3}} = 8$ في $a^{3}$ .

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = 8 a^{3}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $a^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = 8 a^{3}$

خطوة 2.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = 8 a^{3}$

خطوة 2.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $8 a^{3} = 1$ .

$8 a^{3} = 1$

خطوة 2.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$8 a^{3} - 1 = 0$

خطوة 2.5.3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

أعِد كتابة $8 a^{3}$ بالصيغة ${(2 a)}^{3}$ .

${(2 a)}^{3} - 1 = 0$

خطوة 2.5.3.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

${(2 a)}^{3} - 1^{3} = 0$

خطوة 2.5.3.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = 2 a$ و $b = 1$ .

$(2 a - 1) ({(2 a)}^{2} + 2 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 2.5.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 a$ .

$(2 a - 1) (2^{2} a^{2} + 2 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 2.5.3.4.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 2.5.3.4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1^{2}) = 0$

خطوة 2.5.3.4.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1) = 0$

خطوة 2.5.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 a - 1 = 0$

$4 a^{2} + 2 a + 1 = 0$

خطوة 2.5.5

عيّن قيمة العبارة $2 a - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

عيّن قيمة $2 a - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 a - 1 = 0$

خطوة 2.5.5.2

أوجِد قيمة $a$ في $2 a - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 a = 1$

خطوة 2.5.5.2.2

اقسِم كل حد في $2 a = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 a = 1$ على $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 2.5.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 2.5.5.2.2.2.1.2

اقسِم $a$ على $1$ .

$a = \frac{1}{2}$

خطوة 2.5.6

عيّن قيمة العبارة $4 a^{2} + 2 a + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.1

عيّن قيمة $4 a^{2} + 2 a + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 a^{2} + 2 a + 1 = 0$

خطوة 2.5.6.2

أوجِد قيمة $a$ في $4 a^{2} + 2 a + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.5.6.2.2

عوّض بقيم $a = 4$ و $b = 2$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $a$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.2.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.3.1.2.2

اضرب $- 16$ في $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.3.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.3.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.3.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.3.2

اضرب $2$ في $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 2.5.6.2.3.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 2.5.6.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.2.4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.4.1.2.2

اضرب $- 16$ في $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.4.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.4.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.4.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.2.4.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.4.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.4.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.4.2

اضرب $2$ في $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 2.5.6.2.4.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 2.5.6.2.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$a = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 2.5.6.2.4.5

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 2.5.6.2.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

خطوة 2.5.6.2.4.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

خطوة 2.5.6.2.4.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 2.5.6.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.2.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.5.1.2.2

اضرب $- 16$ في $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.5.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.5.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.5.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.2.5.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.5.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.5.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.5.6.2.5.2

اضرب $2$ في $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 2.5.6.2.5.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 2.5.6.2.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$a = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 2.5.6.2.5.5

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 2.5.6.2.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

خطوة 2.5.6.2.5.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

خطوة 2.5.6.2.5.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$a = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 2.5.6.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 2.5.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1) = 0$ صحيحة.

$a = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 2.6

احذِف جميع القيم التي تحتوي على مكونات تخيّلية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

لا توجد مكونات تخيّلية. أضِف $\frac{1}{2}$ إلى الإجابة النهائية.

$\frac{1}{2}$ هي عدد حقيقي

خطوة 2.6.2

يمثل الحرف $i$ مكونًا تخيّليًا وليس عددًا حقيقيًا. لذا لا تضف $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ إلى الإجابة النهائية.

$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ ليست عددًا حقيقيًا

خطوة 2.6.3

يمثل الحرف $i$ مكونًا تخيّليًا وليس عددًا حقيقيًا. لذا لا تضف $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ إلى الإجابة النهائية.

$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ ليست عددًا حقيقيًا

خطوة 2.6.4

الإجابة النهائية هي قائمة القيم التي لا تحتوي على مكونات تخيّلية.

$a = \frac{1}{2}$

خطوة 3

استبدِل كل قيمة بـ $a$ وعوّض بها مرة أخرى في الدالة $f (x) = a^{x}$ لإيجاد كل دالة أُسية ممكنة.

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$